Poligono

Nel sentire la parola poligono, a molti di noi verranno in mente le costruzioni geometriche imparate a scuola, che servono per disegnare triangolo equilatero, quadrato, pentagono ed esagono regolari. In realtà i poligoni sono molti più di questi, né è detto che debbano per forza essere regolari.

Sono infatti regolari solo i poligoni convessi, che abbiano angoli e lati uguali: a queste condizioni, qualsiasi numero di lati abbiano, possono sempre essere inscritti in (o circoscritti a) una circonferenza; viceversa tutti gli altri poligoni sono detti irregolari, indipendentemente dal fatto che possano o meno essere inscritti in una circonferenza.
Queste linee chiuse spezzate evocano anche un tracciato in pianta, e specie nel lessico militare il poligono è diventato prima il tracciato di una fortificazione o di una cinta (con mura, torri e bastioni), e poi più comunemente, come ‘poligono di tiro’, la zona adeguatamente delimitata in cui ci si può esercitare con le armi da fuoco, secondo postazioni e bersagli (fissi o mobili) che si confanno al tipo e gittata delle armi.

Euclide, nei suoi Elementi, spiega come disegnare i poligoni regolari citati più sopra, ai quali aggiunge il pentadecagono (di quindici lati). Perché si sia limitato solo a questi poligoni è presto detto: sono, o almeno ai suoi tempi sembravano essere, gli unici poligoni che potessero essere disegnati in modo esatto mediante l’uso di soli riga e compasso.

La più difficile delle costruzioni era quella del pentagono regolare, di cui Euclide fornisce un procedimento molto complicato, diverso dal metodo che si impara a scuola (il quale proviene niente meno che dall’Almagesto di Tolomeo). Qualcuno ricorderà che si trattava di tracciare qualche segmento e qualche arco, finché si otteneva la lunghezza del lato, che andava poi riportata cinque volte sulla circonferenza; e andava sempre a finire che il pentagono non si chiudeva mai esattamente! Era dunque sbagliato il metodo? Certo che no, lo era la sua applicazione pratica, perché per quanto si proceda con attenzione, l’uso pratico della riga e del compasso fornisce sempre risultati approssimati. Fortunatamente esiste un metodo leggermente diverso e un po’ più affidabile, che non richiede di riportare cinque volte quella distanza; comunque per quanto ci si applichi con attenzione, il risultato ottenibile nella pratica sarà sempre approssimato: la geometria, come la intendeva Euclide, era solo un fatto mentale, ideale.

La storia dei poligoni regolari non si esaurisce con gli antichi greci, infatti nel 1796 arrivò una sorpresa clamorosa: un giovanotto di diciassette anni capì che, sempre con l’ausilio di soli riga e compasso, si sarebbero potuti costruire i poligoni di 17 (eptadecagono), 257 e 65.537 lati! Per i matematici fu una sorpresa davvero inaspettata, perché tutti erano convinti che questo genere di ricerche fosse stato completato, appunto, già ai tempi di Euclide. D’altra parte non c’è da stupirsi: il giovanotto in questione era niente meno che Carl Friedrich Gauss, uno dei massimi matematici di tutti i tempi.

Su questa scoperta ci sono da dire due cose. La prima è che Gauss affermo sì che tali poligoni potessero essere tracciati, ma non si curò mai di dire come: il primo eptadecagono fu effettivamente disegnato solo alcuni anni dopo, da Johannes Erchinger al quale vanno i nostri complimenti, vista la complessità della costruzione. La seconda è che questa scoperta sorprese lo stesso Gauss, il quale in quella fase della sua vita era ancora indeciso sul dedicare la propria vita alla filologia o alla matematica; e fu proprio questa scoperta geometrica a fargli prendere la decisione… giusta! Perché se avesse operato una scelta diversa, il progresso scientifico avrebbe subito una notevole battuta di arresto (sarebbe troppo complesso spiegare in queste righe il perché della fondamentale importanza di questo scienziato).

Gauss rimase orgoglioso per tutta la vita di questa scoperta giovanile, tant’è che chiese che sulla sua lapide fosse inciso proprio un eptadecagono. Tuttavia il marmista non lo accontentò, sostenendo che l’incisione sarebbe sempre stata scambiata per un semplice cerchio... C’est la vie!

Per chi non ne avesse ancora abbastanza di poligoni, si segnala questo filmato, realizzato nel 2010 dall’autore di questa pagina, in cui si vedono le animazioni della costruzione di tutti i poligoni regolari (che possano essere costruiti con l’uso di sola riga e compasso) da 3 a 51 lati, compreso quindi il temibile eptadecagono (inizia ai 2’28”). Per i poligoni di 257 e 65537 lati si rimanda ai link già presentati sopra, in cui testo e animazioni sono sempre opera dell’autore.