Compasso

Il compasso è lo strumento grafico per antonomasia: nella versione che ci è più consueta, è costituito da due aste collegate da uno snodo, una che termina con una punta semplice, una con una punta tracciante. La cura che richiede nell’uso lo fa immediatamente apparire più preciso di una comune riga; ed infatti, di persone particolarmente precise si dice che lavorano con il compasso in mano, così come delle persone parsimoniose si dice ironicamente che spendono con il compasso. Dopotutto l’etimologia del suo nome parla proprio di questo: ‘compassare’ è ‘misurare con precisione’ — significato esteso da un ‘misurare a passi’. (Ci può sembrare un modo approssimativo di misurare ma la tecnica del bematista, che misurava proprio a passi, ha avuto un’utilità millenaria, e peraltro il compasso un paio di gambe sembra averle.) La sua nobiltà ce lo fa trovare usato in araldica come simbolo di giustizia e di profondità di senno — virtù che echeggiano nel compassato; e sul fatto che in pratica sia uno strumento davvero preciso non ci sono dubbi, come vedremo dalla storia che segue.

Qualcuno ha mai sentito nominare Lorenzo Mascheroni? No? Allora proviamo con una domanda più facile. Chi era Napoleone Bonaparte? Esatto, proprio l’Imperatore! Ebbene, questi due personaggi hanno avuto, come interesse comune, proprio il compasso.

Di Napoleone sono note molte cose sul piano politico e militare; meno noto è il suo interesse per la scienza in generale, e per la geometria in particolare (esiste addirittura un Teorema di Napoleone). Ottimo studente di matematica, la applicò per mettersi in luce quando ancora, da militare, era un artigliere. Successivamente risolse diversi problemi logistici e militari proprio grazie alla geometria, ma non esattamente quella della riga e del compasso: piuttosto, la geometria del compasso… e basta! Perché non esiste un righello che si possa usare sul campo di battaglia, mentre è relativamente facile usare un compasso da campo, fatto con due bastoni e una corda di lunghezza opportuna.

A sua volta Lorenzo Mascheroni fu un importante matematico della seconda metà del XVIII secolo, avendo dato rilevanti contributi all’analisi matematica, alla scienza delle costruzioni ma soprattutto, per quanto riguarda noi, alla geometria.
A quei tempi la geometria aveva già raggiunto livelli molto avanzati, quindi invece di voler progredire ulteriormente, Mascheroni pensò di sfoltire un po’ la materia, chiedendosi ad esempio se la si potesse praticare con il solo compasso, senza l’uso della riga. La questione non era affatto banale: andare al fondo della questione avrebbe richiesto un grande lavoro, e i riconoscimenti sarebbero stati probabilmente scarsi – ecco quindi che il problema veniva sempre procrastinato.

Le cose cambiarono quando Mascheroni capì le necessità non dei matematici, ma degli artigiani. A quei tempi i quadranti di precisione per gli strumenti astronomici venivano ancora realizzati a mano, e ne fece scalpore uno, particolarmente ben riuscito, che era stato realizzato con il solo uso del compasso. Dov’era il vantaggio? Nel fatto che una riga non è mai perfettamente diritta, e nell’usare lo stilo per le incisioni è praticamente impossibile mantenere la mano sempre con la stessa inclinazione; di conseguenza una linea tracciata con una riga non è mai perfettamente diritta, e paradossalmente risulta essere più facile tracciare con precisione una circonferenza che una retta!

Nel corso delle sue scorribande in Italia, Napoleone incontrò Mascheroni più volte, e insieme discussero di geometria. Ad una prima domanda di Napoleone, su come si potessero tracciare i vertici di un quadrato senza fare uso della riga, Mascheroni rispose senza particolari difficoltà. Ma poi arrivò una domanda più difficile: come si fa a determinare il centro di una circonferenza senza fare uso della riga? Il metodo classico illustrato da Euclide è relativamente facile, probabilmente alcuni di noi lo avranno imparato a scuola.

Ma senza usare la riga è assai più difficile, tant’è che Mascheroni non riuscì, almeno sul momento, a rispondere alla domanda. Dunque mettiamo insieme un interesse pregresso, le necessità pratiche degli artigiani, e le sollecitazioni di cotanto interlocutore: come avrebbe potuto rimandare ulteriormente queste ricerche?

Alla fine di un anno di duro lavoro Mascheroni pubblicherà il trattato La geometria del compasso, in cui espone una serie estesissima di costruzioni da fare con il solo uso del compasso, compresa la determinazione del centro di un cerchio.

Ora, non è che Mascheroni aborrisca la riga: ovviamente non ne può fare a meno per tracciare le linee (dritte) di un disegno; ma spiega come determinare i punti delle costruzioni geometriche ricorrendo solo ad intersezioni fra circonferenze, dimostrando quindi che «qualsiasi costruzione che possa essere realizzata con riga e compasso può essere fatta con l’uso del solo compasso» (viceversa non è possibile fare tutto con il solo uso della riga): questo è l’enunciato del Teorema di Mohr-Mascheroni, dal nome del matematico danese Jørgen Mohr, che aveva preceduto Mascheroni pubblicando lo stesso risultato nel 1672 in un’opera che però rimase ignorata fino al suo casuale ritrovamento, nel 1928.

Dal canto suo, Napoleone gradì molto quest’opera a lui dedicata, la studiò a fondo risolvendo tutti i problemi proposti, e alla fine volle tenere lui stesso una conferenza in presenza niente meno che dei matematici Pierre Simon Laplace e Joseph-Louis Lagrange – i quali non credettero ai loro occhi, infatti alla fine gli dissero: «Generale, tutto ci potevamo aspettare da voi, fuorché lezioni di geometria!».